Question

（A类）在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
（B类）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=CD，CF⊥DE，垂足为F．试说明AD与CF是否相等，并说明理由．
（C类）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，CE⊥AC且与AB的延长线交于点E．试说明四边形AECD是等腰梯形．

Answer 1

解：A类：AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC
∵∠ADF=∠ADC，∠CBE=∠ABC
∴∠ADF=∠CBE
在△ADF和△CBE
AD=CB，∠A=∠C
∴△ADF≌△CBE
∴∠ADF=∠CBE
∴AF=CE．
（B类）AD=CF
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠AED=∠FDC，∠A=90°
在△ADE和△FCD中
∵∠CFD=∠A=90°，DE=CD，∠AED=∠FDC
∴△ADE≌△FCD
∴AD=CF
（C类10分）
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠DAB
∵AB∥CD，∠DAB=60°
∴∠CAE=∠DAB=30°．
∵CE⊥AC
∴∠E=90°-∠CAE=90°-30°=60°
∴∠DAB=∠E
∵∠DAB=∠E，AB∥CD
∴四边形AECD是等腰梯形．
分析：A类：由平行四边形的性质和角平分线的定义，得△ADF和△CBE全等的条件，由全等三角形的性质可得AF=CE．
B类：由矩形的性质，得∠AED=∠FDC，∠A=90°，再运用AAS证明△ADE≌△FCD，从而得到AD=CF．
C类：要证四边形AECD是等腰梯形，只要证得∠DAB=∠E，AB∥CD即可．根据菱形的对角线平分每一组对角，结合垂直的定义，可得∠DAB=∠E=60°，又菱形的对边AB∥CD，所以得证四边形AECD是等腰梯形．
点评：等腰梯形是一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形．