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(A类)在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说明理由.
(B类)如图,四边形ABCD是矩形,E是AB上一点,且DE=CD,CF⊥DE,垂足为F.试说明AD与CF是否相等,并说明理由.
(C类)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,CE⊥AC且与AB的延长线交于点E.试说明四边形AECD是等腰梯形.

解:A类:AF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC
∵∠ADF=∠ADC,∠CBE=∠ABC
∴∠ADF=∠CBE
在△ADF和△CBE
AD=CB,∠A=∠C
∴△ADF≌△CBE
∴∠ADF=∠CBE
∴AF=CE.
(B类)AD=CF
证明:∵四边形ABCD是矩形
∴∠AED=∠FDC,∠A=90°
在△ADE和△FCD中
∵∠CFD=∠A=90°,DE=CD,∠AED=∠FDC
∴△ADE≌△FCD
∴AD=CF
(C类10分)
证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠DAB
∵AB∥CD,∠DAB=60°
∴∠CAE=∠DAB=30°.
∵CE⊥AC
∴∠E=90°-∠CAE=90°-30°=60°
∴∠DAB=∠E
∵∠DAB=∠E,AB∥CD
∴四边形AECD是等腰梯形.
分析:A类:由平行四边形的性质和角平分线的定义,得△ADF和△CBE全等的条件,由全等三角形的性质可得AF=CE.
B类:由矩形的性质,得∠AED=∠FDC,∠A=90°,再运用AAS证明△ADE≌△FCD,从而得到AD=CF.
C类:要证四边形AECD是等腰梯形,只要证得∠DAB=∠E,AB∥CD即可.根据菱形的对角线平分每一组对角,结合垂直的定义,可得∠DAB=∠E=60°,又菱形的对边AB∥CD,所以得证四边形AECD是等腰梯形.
点评:等腰梯形是一组对边平行,另一组对边不平行且相等的四边形.
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(A类5分)如图1,平行四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:∠ADE=∠CBF;
(B类6分)如图2,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,连接AC、CE,求证:AC=CE;
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科目:初中数学 来源:2008-2009学年宁夏银川市九年级(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

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(B类6分)如图2,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,连接AC、CE,求证:AC=CE;
(C类7分)如图3,已知E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F、G.求证:AE=FG.

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