Question

11．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB₁⊥AB交x轴于点B₁，过点B₁作B₁A₁⊥x轴交直线l于点A₂…依次作下去，则点B_n的横坐标为$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据直线的位置得到∠ABO=30°，BA=2，进而得出BB₁=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，BB₂=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，BB₃=$\frac{64}{27}\sqrt{3}$，据此可得BB_n=$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$，根据BO=$\sqrt{3}$，可得OB_n=$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，进而得到点B_n的横坐标为$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．

解答 解：由直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x轴于点B，交y轴于点A，可得A（0，1），B（-$\sqrt{3}$，0），
∴tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠ABO=30°，
∴BA=2AO=2，
又∵AB₁⊥AB交x轴于点B₁，AO=1，
∴AB₁=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴Rt△BAB₁中，BB₁=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
由题可得BA₁=$\frac{8}{3}$，
∴A₁B₂=$\frac{8}{9}\sqrt{3}$，
∴Rt△BA₁B₂中，BB₂=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$；
由题可得BA₂=$\frac{32}{9}$，
∴A₂B₃=$\frac{32}{27}\sqrt{3}$，
∴Rt△BA₂B₃中，BB₃=$\frac{64}{27}\sqrt{3}$，
…
以此类推，BB_n=$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$，
又∵BO=$\sqrt{3}$，
∴OB_n=$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，
∴点B_n的横坐标为$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，
故答案为：$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点的坐标变化规律问题，解题的关键是依据含30°角的直角三角形的性质得出BB_n=$（\frac{4}{3}）^{n}\sqrt{3}$．