Question

【题目】如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝m°，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．当m为_____时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】110或125或140．

【解析】

根据全等三角形的性质得到∠OCB=∠DCA，CO=CD，证明∠DCA+∠ACO=60°，根据等边三角形的判定定理证明△COD是等边三角形，然后分AD=AO、DA=DO、OD=AO三种情况，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算．

∵△ADC≌△BOC，

∴∠ADC=∠BOC=m°，∠OCB=∠DCA，CO=CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，即∠OCB+∠ACO=60°，

∴∠DCA+∠ACO=60°，又CO=CD，

∴△COD是等边三角形，

∴∠COD=∠CDO=60°；

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-m°-60°=190°-m°，

∠ADO=∠ADC-∠CDO=m°-60°，

∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（m°-60°）-（190°-m°）=50°，

若AD=AO，则∠ADO=∠AOD，即m°-60°=190°-m°，

解得：m°=125°；

若OA=OD，则∠ADO=∠OAD，则m°-60°=50°，

解得：m°=110°；

若DA=DO，则∠OAD=∠AOD，即50°=190°-m°，

解得：m°=140°；

综上所述，当m为125或110或140时，△AOD是等腰三角形，

故答案为110或125或140．