Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+m交y轴于点C，与抛物线y=ax2+bx交于点A（4，0）、B（-，-）．

（1）直线l的表达式为：______，抛物线的表达式为：______；

（2）若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB=S△AOB，求△AOP的面积；

（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d-d1|=2时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x-3，y=-x2+2x；（2）S△AOP=；（3）点Q的坐标为（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．

【解析】

（1）将点A、B坐标代入一次函数、抛物线表达式即可求解；

（2）将直线l沿y轴向下平移个单位长度得直线y=x，交二次函数在第四象限内的图象于点P，即可求解；

（3）确定d=QRcosα=|x2+2xx+3|×，d1=|x-2|，利用|d-d1|=2，即可求解．

解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y=kx+m得：

，

解得：，

∴直线的表达式为：y=x-3，

同理将点A、B的坐标代入抛物线表达式，得

，

解得：a=，b=2，

∴抛物线的表达式为：y=x2+2x；

（2）将直线l向下平移m个单位，交抛物线于点P，交y轴于点D，

过点P、D分别作直线l的垂线HD、PM于点H、M，过点O作直线PD的垂线交直线l于点F、交直线PD于点E，

则PM=HD，2S△APB=S△AOB，则PM=HD=2OF，

直线的表达式为：y=x-3，则tan∠HCD=tan∠OCF，

即：，

解得：OC=OC=，

∵FC∥ED

∴，

∴，

即：x-=-x2+2x，

解得：x=或-2（舍去负值），

点P（，-），

S△AOP==；

（3）过点Q分别作直线l和函数对称轴的垂线交于点H、G，过点Q作QR∥y轴交直线l和x轴于点R、S，

则∠RQH=∠RAS=α，直线AB表达式得k值为，即tanα=，则cosα=，

设点Q（x，-x2+2x）、则点R（x，x-3），

d=QRcosα=|-x2+2x-x+3|×…①，

d1=|x-2|…②，

|d-d1|=2…③，

联立①②③并解得：x=或-或6或-1或1或4或-4，

故点Q的坐标为：（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．