Question

在数学活动课时，王倩同学出了这样一道题：“已知x₁、x₂是方程x²-x+1=0的两个实数根，求x₁²+x₂²的值．”很快，张智同学便给出了如下的解答：“∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=1，∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-1．”
（1）你对王倩同学出的这道题及张智同学给出的解答是否有不同的看法？若有，请写出你的见解；
（2）写出一个你喜欢的一元二次方程，并求出

1

x1

+

1

x2

的值．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式先判断方程是否有实数根，有实数根了再根据根与系数的关系来求所给式子的值．
（2）根据自己的喜好写出一个方程后，再用根与系数的关系来求所给式子的值．

解答：解：（1）∵a=1，b=-1，c=1．
∴△=b²-4ac
=（-1）²-4×1×1
=-3＜0．
∴方程没有实数根，张智同学求的就是错误的．

（2）我选择方程：x²-x-6=0．
∵a=1，b=-1，c=-6．
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，x₁•x₂=

c

a

=-6．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

1

6

．

点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、一元二次方程的根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．