Question

15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．

解答 解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=$\frac{1}{2}$DE，
∴EF=CF=$\frac{1}{2}$DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=$\sqrt{{DE}^{2}-{CE}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}-{5}^{2}}$=12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$（BC-CE）=$\frac{1}{2}$（12-5）=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．