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已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为 (0,2 ),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-
2
x2+mx+n的图象经过A,C两点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求证:∠BEF=∠AOE;
(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
分析:(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB,再利用勾股定理列式求出AB,然后求出点C的坐标,再把点A、C的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)先求出∠BAO=∠ABO=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,再根据∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,从而得证;
(3)分①当OE=OF时,根据等边对等角可得∠OFE=∠OEF=45°,然后根据三角形的内角和定理求出∠EOF=90°,从而得到点E与点A重合,不符合题意;②当FE=FO时,根据等边对等角可得∠EOF=∠OEF=45°,再根据三角形的内角和定理求出∠EFO=90°,然后根据同旁内角互补,两直线平行求出EF∥AO,再根据两直线平行,同位角相等求出∠BEF=∠BAO=45°,然后求出EF=BF=OF=
1
2
OB,再写出点E的坐标即可;③当EO=EF时,过点E作EH⊥y轴于点H,利用“角角边”证明△AOE和△BEF全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=AO=2,然后求出△BEH是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出BH=EH=
2
2
BE,再求出OH,然后写出点E的坐标即可.
解答:解:(1)∵A (-2,0)B (0,2),
∴OA=OB=2,
∴AB=
OA2+OB2
=
22+22
=2
2

∵OC=AB,
∴OC=2
2

∴C(0,2
2
),
又∵抛物线y=-
2
x2+mx+n的图象经过A、C两点,
-4
2
-2m+n=0
n=2
2

解得,
m=-
2
n=2
2

所以,抛物线的表达式为y=-
2
x2-
2
x+2
2


(2)∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠BAO=∠ABO=45°,
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,
∴∠BEF=∠AOE;

(3)当△EOF为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当OE=OF时,∠OFE=∠OEF=45°,
在△EOF中,∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°,
又∵∠AOB=90°,
则此时点E与点A重合,不符合题意,此种情况不成立;

②如图2,当FE=FO时,∠EOF=∠OEF=45°,
在△EOF中,∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°,
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°,
∴EF∥AO,
∴∠BEF=∠BAO=45°,
又∵∠ABO=45°,
∴∠BEF=∠ABO,
∴BF=EF,
∴EF=BF=OF=
1
2
OB=
1
2
×2=1,
∴E(-1,1);
③如图3,当EO=EF时,过点E作EH⊥y轴于点H,
在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE
∠AOE=∠BEF
OE=OF

∴△AOE≌△BEF(AAS),
∴BE=AO=2,
∵EH⊥OB,∠BAO=45°,
∴△BEH是等腰直角三角形,
∴BH=EH=
2
2
BE=
2
2
×2=
2

∴OH=OB-BH=2-
2

∴E(-
2
,2-
2
),
综上所述,当△EOF为等腰三角形时,所求E点坐标为E(-1,1)或E(-
2
,2-
2
).
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,难点在于(3)要分情况讨论.
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3
2
x+b
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16
x
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(1)求乒乓球飞行路线抛物线的解析式;
(2)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,乒乓球能不能落入桶内?
(3)当竖直摆放圆柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
个时,乒乓球可以落入桶内?(直接写出满足条件的一个答案)

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13
x
相交于点C.
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(1)求出点C的坐标;
(2)在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形?请说明理由。若
用y表示四边形OPEM的面积 ,直接写出y关于t的函数关系式及t的
范围;并求出当四边形OPEM的面积y的最大值?
(3)在整个运动过程中,是否存在某个t值,使⊿MPB为等腰三角形?
若有,请求出所有满足要求的t值.

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