Question

【题目】在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．

（问题提出）

求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．

（从特殊入手）

我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．

请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．

（问题解决）

已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC⊥BD．

求证： ．

证明：

Answer 1

【答案】【从特殊入手】见解析；【问题解决】见解析.

【解析】分析：(1)、当AC、BD是两条互相垂直的直径时，然后根据直角三角形的勾股定理分别得出四条边的平方，从而得出答案；(2)、作直径DE，连接CE，根据弧与角的关系得出AB＝CE，然后根据勾股定理得出答案．

详解：【从特殊入手】

如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，

那么这个四边形的对边平方和是定圆半径平方的4倍．

法1 如图1，当AC、BD是两条互相垂直的直径时．

则AB2＝OA2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2， CD2＝OC2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2，

BC2＝OC2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2， AD2＝OA2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2．

所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝2R2＋2R2＝4R2．

【问题解决】

求证：AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝4R2．

证明一：如图2．作直径DE，连接CE．

∵DE是直径，∴∠DCE＝90°． ∵所对的圆周角是∠E与∠DAH，

∴∠E＝∠DAH． ∵∠DAC＋∠ADB＝90°，∠E＋∠CDE＝90°， ∴∠ADB＝∠CDE．

∴＝． ∴AB＝CE． ∴AB2＋CD2＝CE2＋CD2＝DE2＝4R2．

同理：BC2＋AD2＝4R2．