Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
∴-8a=4，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）如图1，

①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{E′F′}{CF′}$=$\frac{1}{2}$，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′（2h，h+4）
∵点E′在抛物线上，
∴-$\frac{1}{2}$（2h）²+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=$\frac{1}{2}$
∴E′（1，$\frac{9}{2}$），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
连接CE，过E作EF⊥CD，垂足为F，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠ECF，
∴tan∠ACO=tan∠ECF，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
设线段EF=h，则CF=2h，
∴点E（2h，4-h）
∵点E在抛物线上，
∴-$\frac{1}{2}$（2h）²+2h+4=4-h，
∴h=0（舍）h=$\frac{3}{2}$
∴E（3，$\frac{5}{2}$），
点E的坐标为（1，$\frac{9}{2}$），（3，$\frac{5}{2}$）
（3）①CM为菱形的边，如图2，

在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
设点P′（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=$\sqrt{2}$m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，-m+4），
∴P′N′=-$\frac{1}{2}$m²+m+4-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴$\sqrt{2}$m=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴m=0（舍）或m=4-2$\sqrt{2}$，
菱形CM′P′N′的边长为$\sqrt{2}$（4-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4．
②CM为菱形的对角线，如图3，

在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P（n，-$\frac{1}{2}$n²+n+4），
∴CQ=n，OQ=n+4，
∴n+4=-$\frac{1}{2}$n²+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4$\sqrt{2}$-4．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解．