Question

【题目】已知函数y＝﹣（x＞0）与y＝（x＜0）的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论；①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）．其中正确的结论为___．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

①错误．根据x1＜x2＜0时，函数y随x的增大而减小可得；

②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；

③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），求出PA、PB，推出PA＝4PB，由SAOB＝S△OPB+S△OPA即可求出S△AOB＝7.5；

④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），推出PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP2＝PBPA，列出方程即可解决问题．

解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，

∴y1＞y2，故①错误．

②正确．∵P（0，﹣3），

∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），

∴AB＝5，OA＝＝5，

∴AB＝AO，

∴△AOB是等腰三角形，故②正确．

③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），

∴PB＝﹣，PA＝﹣，

∴PA＝4PB，

∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝+＝7.5，故③正确．

④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），

∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，

∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，

∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，

∴∠BOP＝∠OAP，

∴△OPB∽△APO，

∴＝，

∴OP2＝PBPA，

∴m2＝﹣（﹣），

∴m4＝36，

∵m＜0，

∴m＝﹣，

∴A（2，﹣），故④正确．

∴②③④正确，

故答案为：②③④．