Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．

【解析】

（1）将B、C两点的坐标代入解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）已知要使四边形POP′C是菱形，则P点一定在OC的垂直平分线上，就可根据C点的坐标知道OC的长度，从而得到P点的纵坐标，已知P点的纵坐标就将其代入解析式中即可求得P点坐标.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P点坐标为，可求出BC的解析式从而表示出Q点的解析式，根据可用含有x的式子表示出四边形ABPC的面积，最后根据式子分析最大值即为四边形ABCP面积的最大值，此时求出的x即为P点的横坐标，再代入解析式即可求出P点的坐标即可.

解：（1）将B、C两点的坐标代入得：，

解得：；

所以二次函数的表达式为：.

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；

设P点坐标为，PP′交CO于E

若四边形POP′C是菱形，则有；

连接PP′，则于E，

∵C，

∴，

又∵，

∴,

∴；

∴，

解得，（不合题意，舍去），

∴P点的坐标为.

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P点坐标为，设直线BC的解析式为：，

则，

解得：，

∴直线BC的解析式为，

则Q点的坐标为；

当，

解得：，，

∴，，

，

＝

＝

＝

当时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．