Question

如图，平面上一点P从点M（

3

，1）出发，沿射线OM方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以OP为对角线的矩形OAPB的边长OA：OB=1：

3

；过点O且垂直于射线OM的直线l与点P同时出发，且与点P沿相同的方向、以相同的速度运动．
（1）在点P运动过程中，试判断AB与y轴的位置关系，并说明理由．
（2）设点P与直线l都运动了t秒，求此时的矩形OAPB与直线l在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S．（用含t的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）证AB与y轴平行，可根据OA：OB的值得出特殊角的度数，然后利用矩形的性质：对角线互相平分且相等，得出∠MOB=∠ABO=30°，根据M点的坐标可得出∠MOS=30°，即∠BOS=60°由此可证得AB⊥x轴即AB∥y轴．
（2）先找出关键时刻的t的值．OM=2，因此PO=2+t．
当l与AD重合时，此时OC=OD=t，即t=

1

2

OA=

1

4

OP=

1

4

（2+t）
当l与BE重合时，OC=OE=t，EP=OD=

1

4

（2+t），因此OE=t=

3

4

（2+t）
因此本题可分三种情况进行讨论：
①当0＜t≤

1

4

（2+t），即0＜t≤

2

3

时，此时直线l在OD上运动，扫过部分是个直角三角形，此时OC=t，易求得直角三角形的两条直角边分别为

2 3

3

t和2t，由此可求出扫过部分的面积．
②当

1

4

（2+t）＜t≤

3

4

（2+t），即

2

3

＜t≤6时，扫过部分是个直角梯形．可根据CE的长求出梯形的上底，进而求出梯形的面积．
③当t＞

3

4

（2+t）即t＞6时，重合部分是个多边形，可用矩形的面积减去右边的小三角形的面积进行求解．

解答：解：（1）AB∥y轴．
理由：∵Rt△OAB中，tan∠ABO=OA：OB=1：

3

，
∴∠ABO=30°，
设AB交OP于点Q，交x轴于点S，
∵矩形的对角线互相平分且相等，则QO=QB，
∴∠QOB=30°，
过点M作MT⊥x轴于T，则tan∠MOT=1：

3

=

3

3

，
∴∠MOT=30°，
∴∠BOS=60°，
∴∠BSO=90°，
∴AB∥y轴；

（2）过点A作垂直于射线OM的直线交OM于点D，过点B且垂直于射线OM的直线交OM于点E，

则OD=t．
∵OP=2+t，
∴OB=

3

2

（2+t），OE=

3

4

（2+t），OA=

1

2

（2+t），OD=

1

4

（2+t），
①当0＜t≤

1

4

（2+t），即0＜t≤

2

3

时，S=

2 3

3

t²，
②当

1

4

（2+t）＜t≤

3

4

（2+t）即

2

3

＜t≤6时，
设直线l交OB于F，交PA于G，交OP于点C，
则OF=

2

3

t，PG=

2

3

CP=

4

3

，
∴AG=PA-

4

3

=

3

2

t-

3

3

，S=

1

2

（

3

2

t-

3

3

+

2

3

t）•

1

2

（2+t）=

7 3

24

t²+

3

2

t-

3

6

．
③当t＞

3

4

（2+t）即t＞6时，
∵CP=2，
∴S=S_矩形-

1

2

×4×

4

3

=

3

2

（2+t）×

1

2

（2+t）-

8 3

3

=

3

4

t²+

3

t-

5 3

3

．

点评：本题是运动性问题，考查了矩形的性质和图形面积的求法，找出几个关键点是解题的关键．