Question

如图，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠BPC=

 

．
（2）若∠A=70°，则∠BPC=

 

．
（3）试猜想∠BPC与∠A的数量关系，并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）运用三角形的内角和定理及外角的性质求出∠PBC+∠PCB的值，即可解决问题．
（2）设∠ABC=α，∠ACB=β；证明∠P=180°-90°-

1

2

∠A，即可解决问题．
（3）证明方法同（2）中的方法．

解答：解（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，
∴∠DBC=140°，∠BCE=120°；
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=70°+60°=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
故答案为50°．
（2）设∠ABC=α，∠ACB=β；
则∠DBC=∠A+β，∠BCE=∠A+α，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=

∠A+α

2

+

∠A+β

2

=

∠A+∠A+α+β

2

=90°+

1

2

∠A，
∴∠P=180°-90°-

1

2

∠A
=90°-35°=55°．
故答案为55°．
（3）猜想：∠BPC=90°-

1

2

∠A．
证明：设∠ABC=α，∠ACB=β；
则∠DBC=∠A+β，∠BCE=∠A+α，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=

∠A+α

2

+

∠A+β

2

=

∠A+∠A+α+β

2

=90°+

1

2

∠A，
∴∠P=180°-90°-

1

2

∠A
=90°-

1

2

∠A．
即猜想成立．

点评：该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断；科学求解论证．