Question

19．如图，在正方形ABCD的对角线BD上取点E，使得∠BAE=75°，连接AE，CE，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E的对应点恰好落在AE延长线上的点F处．若AB=2，则AF的长为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得∠ABD=∠CBE=45°，BA=BC，则可计算出∠AEB=60°，再证明△BAE≌△BCE得到AE=CE，∠AEB=∠CEB=60°，接着利用旋转的性质得∠CEF=60°，CE=CF，于是可判断△CEF为等边三角形，所以EF=CE=AE，作AH⊥BD于H，如图，在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性质可计算出AH=$\sqrt{2}$，然后在Rt△AHE中利用正弦的定义可计算出AE=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，从而得到AF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠CBE=45°，BA=BC，
而∠BAE=75°，
∴∠AEB=60°，
在△BAE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCE，
∴AE=CE，∠AEB=∠CEB=60°，
∵线段CE绕点C顺时针旋转，使点E的对应点恰好落在AE延长线上的点F处，
∴∠CEF=60°，CE=CF，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE，
∴AF=2AE，
作AH⊥BD于H，如图，
在Rt△ABH中，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
在Rt△AHE中，∵sin∠AEH=$\frac{AH}{AE}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．