Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O，交AB边于点D，过点D作∠ODP＝∠B，交边AC于点P，交圆O与点E．设OB＝x．

（1）当点P与点C重合时，求PD的长；

（2）设AP﹣EP＝y，求y关于x的解析式及定义域；

（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交

【解析】

（1）根据OB=OD，AB=AC以及∠ADO=∠B+∠BOD=∠ODP+∠ADP结合题目所给∠ODP=∠B即可求出答案

（2）分点P与C重合，P与E重合，D与A重合三种情况讨论，求出相应的x值，再分两个区间分别求出相应的解析式

（3）连接OP，求出两圆的半径，圆心距即可判断两圆的位置关系

（1）如图1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝3，AH＝4，

∵，

∴，

∴，

如图2中，当点P与C重合时，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB＝∠ACB，

∵∠ADO＝∠B+∠BOD＝∠CDO+∠ADP，∠ODP＝∠B，

∴∠ADP＝∠BOD＝∠BAC，

∴PA＝PD＝5；

（简单解法：易知∠A＝180°﹣2∠B，只要证明∠ADP＝180°﹣2∠B即可解决问题）

（2）如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．

∵，

∵，

∴，

∴，

如图3中，当P、E重合时，作EG⊥AD于G．

根据对称性可知，B、E关于直线OD对称，

∴，

∵，

∴，

解得，

当点D与A重合时，

∴，

当时，如图4中，

∵，

∴，

当时，如图5中，作PG⊥AB于G．

∵，

∴，

∴，

综上所述，．

（3）如图6中，连接OP．

连接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，设ON＝4k，则易知OB＝DO＝5k．BN＝DN＝3k，

，

由△DOK∽△OPM可得，可得，

∵k，

∴以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交．