Question

如图，已知AB是⊙O直径，AB=4，∠CAB=30°，点C在⊙O上，∠ABD=120°，且CD⊥BD，AD交⊙O于点E．
（1）求BD的长；
（2）求证：CD²=DE•DA．

Answer 1

分析：（1）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角，再结合已知条件可以发现两个30度的直角三角形，再进一步根据锐角三角函数的概念进行求解；
（2）只需证明CD是圆的切线，根据切割线定理即可求得结论．

解答：（1）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AB=2，∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°．
∴BD=BC•cos∠CBD=1．

（2）证明：连接OC，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠AOC=120°=∠ABD．
∴OC∥BD．
∵CD⊥BD，
∴OC⊥CD．
∴CD是圆的切线．
∴CD²=DE•DA．

点评：综合运用了圆周角定理的推论、解直角三角形的知识、切线的判定方法、切割线定理．注意：在圆中构造直径所对的圆周角是常见的辅助线之一．