Question

王明、李宏和赵亮参加同样系列的测试．在每一项测试中，三人的成绩均为两两相异的正整数x，y，z．每人所得的成绩总和如下：王明20分，李宏lO分，赵亮9分．若李宏在代数测试中名列第一，那么几何测试中谁列第二位？

Answer 1

分析：不妨假设x＞y＞z≥1，记N为测试的项数，据题意（系列测试）知N＞1，且有（x+y+z）N=20+10+9=39．于是两两相异的整数x，y，z可能为（x，y，z）=（1 0，2，1）：（9，3，1），（8，4，1），（8，3，2），（7，5，1），（7，4，2），（6，5，2），（6，4，3）基于王明的总分为20，只有（8，4，1）是可能的，删去其他情况．从而得出赵亮在几何测试中位列第二．

解答：解：不妨假设x＞y＞z≥1，记N为测试的项数，据题意（系列测试）知N＞1，且有（x+y+z）N=20+10+9=39．
因x+y+z≥3+2+1=6，知N≤6，又因N整除3 9，
所以N=3，x+y+z=1 3 （x，y，z≥1）．
于是两两相异的整数x，y，z可能为（x，y，z）=（1 0，2，1）：（9，3，1），（8，4，1），（8，3，2），（7，5，1），（7，4，2），（6，5，2），（6，4，3）基于王明的总分为20，只有（8，4，1）是可能的，删去其他情况．
因此李宏的代数测试成绩为8，4，1中的最大值8．这样问题就转化为填空下列表格，使得每一行都为8，4，1这三个成绩，三列的总和分别为20，10，9．

容易找到问题的唯一解，

因此赵亮在几何测试中位列第二．

点评：本题考查了数的整除性问题，是竞赛题有一定的难度．