Question

如图，△ABC中，D为边AC的中点，过点D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，求证：（1）ED=DF；（2）四边形AECF为矩形．

Answer 1

证明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，
又∵MN∥BG，
∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，
∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，
∴DE=DC，DF=DC，
∴DE=DF．

（2）∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
又DE=DF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，
∴∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF为矩形．
分析：（1）由角的平分线的性质得到∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，由平行线的性质得到∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，等量代换得到∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，由等角对等边得到DE=DC，DF=DC，故有DE=DF．
（2）由于点D是AC和EF的中点，即有四边形AECF为平行四边形，再由∠ECF=90°，可知平行四边形AECF为矩形．
点评：本题考查的是平行线、角平分线及矩形的性质，比较简单．