Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列结论中正确的是
①DB=DC；
②AC+AB=2CM；
③AC﹣AB=2AM；
④S△ABD=S△ABC ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：过点D作DF⊥BE于F，∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分线AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此选项正确；
∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
在△BFD≌△CMD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC﹣AB=CM+AM﹣AB=CM+AM﹣CM+AF=CM+AM﹣CM+AM=2AM，故此选项正确；
∴③AC+AB=AM+MC+BF﹣FA=AM+MC+MC﹣AM=2CM，故此选项正确；
S△ABD和S△ABC的大小无法判断，④错误，
故答案为：①②③．

由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC﹣AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正确的；S△ABD和S△ABC的大小无法判断．