Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F．
（1）在图中找出与△ABD全等的三角形，并说出全等的理由；
（2）说明BD=2EC；
（3）如果AB=5，求AD的长．

Answer 1

证明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠BAC=90°，
∵BD⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC，
∵BD是∠BAC的平分线，
∴∠FBE=∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
∴BD=2CE．

（3）过D作DM⊥BC，

设AD=DM=MC=x，
则DC=x
由AB=AC=AD+DC可得：x+x=5，
解得：x=5-5，
即如果AB=5，则AD的长为5-5．
分析：（1）可利用ASA判断△ABD≌△ACF；
（2）根据（1）可得BD=CF，证明△BFE≌△BCE，可得出EF=CE=CF，继而可得出结论；
（3）过D作DM⊥BC，设AD=DM=MC=x，则可得DC=x，根据AD+DC=AC=AB=5，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，注意掌握全等三角形的判定定理及等量代换的应用，第三问还可以根据BC=MB+MC，得出方程5+x=5，难度一般．