Question

13． （1）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
已知：
求证：
证明：
（2）在问题（1）中，如果等腰三角形顶角为135°，底边中点到腰的距离为2cm，以底边中点为圆心，以底边中点到腰的距离为半径作圆，求两垂足间所夹劣弧的弧长．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）先画出几何图形，再写出已知、求证，接着进行证明：根据等腰三角形的性质和判断PD为角平分线，然后根据角平分线性质定理可得DE=DF；
（2）先利用四边形内角和计算出∠EDF=45°，然后根据弧长公式求解．

解答 （1）已知：△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC于F，垂足分别为E、F，如图，
求证：DE=DF，
证明：连结AD，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=180°-∠BAC=180°-135°=45°，
∵DE=DF=2，
∴EF弧的长=$\frac{45•π•2}{180}$=$\frac{1}{2}$π（cm），
即两垂足间所夹劣弧的弧长为$\frac{1}{2}$πcm．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和弧长公式．