Question

3．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为$\frac{8}{3}$或8或$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．
②当点F落在AB边上时，如答图2所示．此时四边形ADEF为正方形，得出DE=AD=8．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示．
由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，
设DE=x，则EF=x，CE=6-x，
∴CE=6-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
∵EF²+CF²=CE²，
∴x²+2²=（6-x）²，
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴DE=$\frac{8}{3}$；
②当点F落在AB边上时，如图2所示．
此时ADEF为正方形，
∴DE=AD=8．
③当点F落在AB边上时，易知BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，设DE=EF=x，
在Rt△EFC中，x²=（6-x）²+（8-2$\sqrt{7}$）²，
∴x=$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$，
∴DE=$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$，
综上所述，BE的长为$\frac{8}{3}$或8或$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$或8或$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．