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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A （-15，0），AB=25，AC=15，点C在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A逆时钟方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD．
    （1）求直线AC的解析式；
    （2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；
    （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．精英家教网
    分析：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，由于A，C两点都在第二象限，所以k＞0，即：k=tan∠A，将点A代入求出b的值即可；
    （2）设点D（x，y）旋转后，CD=OP=5，∠DAC=∠D，根据三角形中∠ABC的正弦，余弦值可以求出x，y即可，由两点间的距离公式求出DP的长即可；
    （3）根据题意设点P（0，a），分当a＞0时和当-
    15
    2
    ＜a＜0，a＜-
    15
    2
    ，列出等量关系求出满足条件a的值，若存在则求出点P的坐标即可．
    解答：解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    ∵点A （-15，0）且C点在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
    ∴k＞0，即k=tan∠A=
    BC
    AC
    =
    		AB2-AC2
    AC
    =
    20
    15
    =
    4
    3
    ，
    又∵直线AC过点A-15，0），
    即：0=
    4
    3
    ×（-15）+b，
    ∴b=20，
    ∴直线AC的解析式为：y=
    4
    3
    x+20    ；

    （2）点P运动到点（0，5）时，CD=OP=5，AD=
    		OA2+OP2
    =5
    		10
    ，
    设D（x，y），
    则x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
    y=sin∠DAB×AD=
    AC
    AD
    ×AD=AC=
    		AD2-DC2
    =15；
    ∴D（-10，15），DP=10
    		2
    ；

    （3）设P（0，a），则
    当a＞0时，
    1
    2
    a(
    4
    5
    a+6)=5
    解得：a1=
    -15+5
    		17
    4
    ，a2=
    -15-5
    		17
    4
    （舍去）
    当-
    15
    2
    ＜a＜0    时，
    1
    2
    (-a)(
    4
    5
    a+6)=5    ．
    解得a1=-
    5
    2
    ，a2=-5
    当a＜-
    15
    2
    时，
    1
    2
    (-a)(-
    4
    5
    a-6)=5
    解得a1=
    -15+5
    		17
    4
    （舍去），a2=
    -15-5
    		17
    4

    ∴存在点P，使△OPD的面积等于5，P1(0，
    -15+5
    		17
    4
    )    ，P2（0，-5），P3(0，-
    5
    2
    )    ，P4(0，
    -15-5
    		17
    4
    )    ．
    点评：解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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