Question

如图二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点
（1）试确定b、c的值；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）试确定△MCD的形状．（直接写出结果，不用证明）

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，
∴，
解得：b=-2，c=-3；

（2）∴此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标（1，-4），对称轴为x=1；

（3）等腰直角三角形．
理由：∵C（0，-3），
∴点D（2，-3），
∵M（1，-4），
∴CD=2，CM=，DM=，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形状为等腰直角三角形．
分析：（1）由二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，即可将此两点的坐标代入函数解析式，即可得到方程组，解此方程组即可求得b、c的值；
（2）由（1）即可求得此二次函数的解析式，然后利用配方法求得此二次函数的顶点式，即可求得其对称轴和顶点坐标；
（3）根据题意，首先求得点C，D，M的坐标，即可求得CD，CM，DM的长，然后由勾股定理的逆定理，即可确定△MCD是直角三角形，又由CM=DM，即可得△MCD的形状是等腰直角三角形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标与对称轴的求解方法以及勾股定理的逆定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．