Question

（2010•皇姑区二模）朝阳商贸有限公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=

1

4

t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₂=-

1

2

t+40（21≤t≤40且t为整数）
．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前30天中，该公司决定每销售一件就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．

解答：解：（1）设一次函数为m=kt+b，
将

t=1 m=94

和

t=3 m=90

代入一次函数m=kt+b中，
有

k+b=94 3k+b=90

，
∴

k=-2 b=96

．
∴m=-2t+96．
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，
故所求函数解析式为m=-2t+96；

（2）设前20天日销售利润为p₁元，后20天日销售利润为p₂元．
由p₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）
=（-2t+96）（

1

4

t+5）
=-

1

2

t²+14t+480
=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，
∴当t=14时，p₁有最大值578（元）．
由p₂=（-2t+96）（-t+40-20）
=（-2t+96）（-

1

2

t+20）
=t²-88t+1920
=（t-44）²-16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，
∴函数p₂在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t=21时，p₂有最大值为（21-44）²-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）p₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20-a）=-

1

2

t²+（14+2a）t+480-96a
对称轴为t=

-(14a+2)

2×(- 1 2 )

=-14+2a．
∵t取1≤t≤20之内的整数，
∴对称轴14+2a满足20≤14+2a，p₁也是随整数t增加而增加．
∴3≤a＜4．

点评：考查了二次函数的应用：
（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；
（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．