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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，点D在AC上，CD=3cm．P，Q两点分别从A，C两点同时出发，点P沿AC向点C匀速运动，速度为每秒kcm，行完AC全程需8s；点Q沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1cm．设运动的时间为xs（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1cm2，△PCQ的面积为y2cm2．
    （1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
    （2）图2所示的抛物线是y2的图象，顶点坐标为（4，10），求图1中AB的长；
    （3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别交y1，y2于点E，F．
    ①说出线段EF的长在图1中所表示的几何意义；
    ②P，Q两点在运动过程中，△PDQ的面积是否存在最大值？若存在，请求出点Q运动的时间和△PD精英家教网Q的最大面积；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知了CD=3cm，根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出y1，x的函数关系式；
    （2）可先求出y2的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y2，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；
    （3）EF其实就是y2-y1，也就是△PCQ和△CDQ的面积差即△PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出△PDQ的最大值．
    解答：精英家教网解：（1）∵S△DCQ=
    1
    2
    •CQ•CD，CD=3cm，CQ=xcm，
    ∴y1=
    3
    2
    x．图象如图所示；

    （2）S△PCQ=
    1
    2
    •CQ•CP，CP=（8k-xk）cm，CQ=xcm，
    ∴y2=
    1
    2
    ×（8k-kx）•x=-
    1
    2
    kx2+4kx．
    ∵抛物线顶点坐标是（4，10），
    ∴-
    1
    2
    k•42+4k•4=10．
    解得k=
    5
    4
    ．
    则点P的速度每秒
    5
    4
    cm，
    ∴AC=
    5
    4
    ×8=10cm，BC=8cm，
    ∴AB=
    		AC2+BC2
    =2
    		41
    （cm）；

    （3）①观察图象，知线段的长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
    精英家教网②存在．
    理由：由（2）得y2=-
    5
    8
    x2+5x．
    ∴S△PDQ=EF=-
    5
    8
    x2+5x-
    3
    2
    x=-
    5
    8
    x2+
    7
    2
    x，
    ∵二次项系数小于0，
    ∴在0＜x＜6范围，
    当x=-
    7
    2
    2×(-
    5
    8
    )
    =
    14
    5
    时，S△PDQ最大，S△PDQ=
    49
    10
    ．
    点评：本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．
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    （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
    （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
    （3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=
    1
    4
    x2-6    与直线y=
    1
    2
    x    相交于A，B两点．
    （1）求线段AB的长；
    （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
    （3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式
    1
    OC2
    +
    1
    OD2
    =
    1
    OM2
    是否成立；
    （4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：
    1
    a2
    +
    1
    b2
    =
    1
    h2
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．
    说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，可以从图2、3中选取一个，并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
    （1）求AA1的长；
    （2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
     
    ；
    （3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
     
    ；
    （4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
     
    ．

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