在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H、四边形EFGH四边的平方和EF2+FG2+GH2+HE2最小时其面积为 .
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解析试题分析:利用勾股定理列出四边形EFGH四边的关系,利用配方法求得E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点,从而问题得解.
在正方形ABCD中,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=DA=2;
∴EF2+FG2+GH2+HE2=BE2+BF2+CF2+CG2+GD2+DH2+AH2+AE2,
=BE2+BF2+(2-BF)2+CG2+(2-CG)2+DH2+(2-DH)2+(2-BE)2,
=2(BE-1)2+2(BF-1)2+2(CG-1)2+2(DH-1)2+8≥8,
当EF2+FG2+GH2+HE2最小为8时,可得,
AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH,
即E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点,
由此得出四边形EFGH为正方形,其面积为EF2=BF2+BE2=2.
考点:正方形的性质、勾股定理以及配方法的应用
点评:解题的关键是熟练掌握正方形的四条边相等,四个角都是直角.
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