Question

已知二次函数的图象如图，有下列结论：①b²-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＞0，其中，正确的结论是（　　）

A．①②③

B．①④

C．①②

D．①②④

Answer 1

分析：根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴为直线x=-

b

2a

=1得b＜0，由抛物线与y轴交点得c＜0，则可对②进行判断；由于x=-2时，y＞0得到4a-2b+c＞0，然后b=-2a代入可对③进行判断；根据抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则当x=3时，y＜0，于是可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②正确；
∵当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
而-

b

2a

=1，即b=-2a，
∴8a+c＞0，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间，
而抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴当x=3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，所以④错误．
故选A．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．