Question

如果x₁，x₂是方程x²-ax+a+3=0（a为实数）的两个实数根，则x12+x22的最小值为（　　）

A．18

B．0

C．-7

D．2

Answer 1

分析：x₁，x₂是方程x²-ax+a+3=0（a为实数）的两个实数根，∴△≥0，由此不难求出参数a的范围；由根与系数的关系可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，又知x12+x22=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6的形式，再利用韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）将其转化为关于a的不等式，进面求出x12+x22的最小值．

解答：解：∵关于x的方程x²-ax+a+3=0（a为实数）的两个实数根，
∴△=（-a）²-4（a+3）≥0，即（a+2）（a-6）≥0，
解得，a≥6，或a≤-2；
由根与系数的关系可得：
x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，
又知x12+x22=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6=（a-1）²-7≥0；
当a≥6时，a-1≥5，
∴（a-1）²≥25，
∴（a-1）²-7≥18，
此时，x12+x22的最小值为18；
当a≤-2时，
∴a-1≤-3，
∴（a-1）²≥9，
∴（a-1）²-7≥2，
此时，x12+x22的最小值为2；
综上所述，x12+x22取最小值是2．
故选D．

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及利用配方法确定式子的最值．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．