Question

11．如图，正方形ABCD，以AB为腰向外作等腰△ABE，连接DE交AB于点F，∠BAE的平分线交EF于点G，过D点作AG的垂线交GA的延长线于点H，已知tan∠EDA=$\frac{3}{4}$，S_△AEF=9，则AH的长为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 由于△AEB是等腰三角形，AG是△AEB的平分线，所以延长AG交EB于点I，连接BG，由题意可证明∠HGD=∠HDG=45°，∠BGF=90°，所以∠GBF=∠ADF，利用设AH=x后，用锐角三角形函数可表示出GF、DF的长度，利用△AEF的面积可求出△AHD的面积，进而列出方程即可求出AH的长度．

解答 解：延长AG交EB于点I，连接BG，
∵tan∠EDA=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{3}{4}$，AD=AB，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AF}{BF}=3$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△EBF}}=\frac{AF}{BF}$，
∴S_△EBF=3，
∴S_△AEB=S_△AEF+S_△EBF=12，
∵AB=AE，AG平分∠EAB，
∴S_△AIB=$\frac{1}{2}$S_△AEB=6，
∵DH⊥GH，AI⊥EB
∴∠IAB=∠HDA，
在△AIB与△DHA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠IAB=∠HDA}\\{∠AIB=∠DHA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AIB≌△HDA（AAS），
∴AH=IB，
∵AB=AD=AE，
∴∠AED=∠EDA，
∵∠EAI=∠BAI=∠HDA，
∴∠AGD=∠EAI+∠AED=∠HDA+∠ADE，
即∠AGD=∠HDG=45°，
∴∠EGI=∠GEI=45°，
∴EI=IG
∴GD=$\sqrt{2}$HD，
设AH=x，
∴IB=EI=IG=x，BG=$\sqrt{2}$x
∵∠BGF=90°，
∴∠GBF=∠EDA，
∴tan∠GBF=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{GF}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
∴GF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x，
由勾股定理可得：BF=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$x，
∴AB=4BF=5$\sqrt{2}$x，
∴AD=AB=5$\sqrt{2}$x，
∴cos∠EDA=$\frac{AD}{DF}$=$\frac{4}{5}$，
∴DF=$\frac{5}{4}$AD=$\frac{25\sqrt{2}}{4}$x，
∴DG=DF+GF=$7\sqrt{2}$x，
∵sin∠HGF=$\frac{HD}{DG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴HD=7x，
S_△AIB=S_△ADH=6，
∴$\frac{1}{2}$AH•HD=6，
∴$\frac{1}{2}$×7x²=6，
∴x=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
即AH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$
故答案为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$

点评 本体考查正方形的性质，涉及等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识，综合程度较高，考查学生综合运用知识的能力．