Question

如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接写出边CD上A， B两点的勾股点的个数

（3 如图2，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝4，DP=4，DM＝8，AN＝5．过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．求PH的长．

【解析】（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点；

（2）利用（1）中图形得出C，D，E，F即可得出答案；

（3）求出MN的长度，根据勾股数的特点得出符合要求的点

 

Answer 1

（1）尺规作图正确（以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点）（2）4个．

（3）如图，

∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．

过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上，

∴ME=4，NE=3，

∴MN=5，

PM=4，PH=2时，HM=构成勾股数，

同理可得：

PH″=或PH=2或PH′=3．