Question

【题目】函数 ，则f（x）在[0，k]的最大值h（k）=（ ）
A.2ln2﹣2﹣（ln2）3
B.﹣1
C.2ln2﹣2﹣（ln2）2k
D.（k﹣1）ek﹣k3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f′（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k）， 令f′（x）=0得x=0或x=ln2k，
令g（k）=k﹣ln2k，则g′（k）=1﹣ ＜0
∴g（k）在（ ，1]上是减函数，∴g（k）≥g（1）=1﹣ln2＞0，
∴k＞ln2k，
∴f（x）在[0，ln2k]上单调递减，在（ln2k，k]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（0）或f（k）．
f（k）﹣f（0）=（k﹣1）ek﹣k3+1=（k﹣1）（ek﹣k2﹣k﹣1），
令h（x）=ek﹣k2﹣k﹣1，则h′（k）=ek﹣2k﹣1，h′′（k）=ek﹣2，
令h″（k）=0得k=ln2，
∴h′（k）在（ ，ln2）上单调递减，在（ln2，1]上单调递增，
∵h′（ ）= ﹣2＜0，h′（1）=e﹣3＜0，
∴h′（k）＜0在（ ，1]上恒成立，
∴h（k）在（ ，1]上是减函数，∴h（k）＜h（ ）= ﹣ ＜0，
∴f（k）≥f（0），
∴f（x）的最大值为f（k）=（k﹣1）ek﹣k3 ，
故选D．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．