Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．
 ①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC相切；
 ②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；
 ③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；
 ④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．
以上判断正确的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①作AD的中点E，作EG⊥BC于点G，过E作AB的平行线EF，则EF是梯形ABCD的中位线，然后证明△DCE≌△GCE，根据切线的判定定理即可判断；
②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，设以AD为直径的圆的圆心是E，则E是AD的中点，设圆与BC相切与点G，则连接EG，可以利用全等三角形的性质证得AB+CD=BC，然后取BC的中点F，中位线EF就是以BC为直径的圆的圆心到AD的垂线段，根据切线的判定定理即可证得；
③需要条件∠A=90°．
④由面积法，可得以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．

解答：解：①作AD的中点E，作EG⊥BC于点G，过E作AB的平行线EF，则EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=

1

2

（AB+CD）=

1

2

BC=CF，
∴∠CEF=∠ECF，
∵EF∥CD，
∴∠DCE=∠CEF，
∵在△DCE和△GCE中，

∠DCE=∠ECF ∠D=∠CGE EC=EC

，
∴△DCE≌△GCE（AAS），
∴EG=DE=

1

2

AD，则以AD为直径的圆与BC相切．
故命题正确；
②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，设以AD为直径的圆的圆心是E，则E是AD的中点，设圆与BC相切与点G，
则连接EG，则EG⊥BC，且EG=ED．
∵在Rt△DCE和Rt△GCE中，

EG=ED EC=EC

，
∴Rt△DCE≌Rt△GCE（HL），
∴CG=CD，
同理，BG=AB，
∴AB+CD=BC，
取BC的中点，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=

1

2

（AB+CD）=

1

2

BC，
又∵若∠A=90°，则EF⊥AD，
∴以BC为直径的圆也与AD相切．故②正确；
③需要∠A=90°，故错误．
④由面积法，可得以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．正确．
故正确的是：①②④．故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，梯形的中位线的性质，正确作出辅助线是关键．