Question

7．已知：反比例函数y=$\frac{2}{x}$与一次函数交于点A，D，一次函数与x轴、y轴分别交于点C，B，求证：AB=CD．

Answer 1

分析 设一次函数的解析式为：y=kx+b，设A（m，$\frac{2}{m}$），D（n.$\frac{2}{n}$），把A（m，$\frac{2}{m}$），D（n.$\frac{2}{n}$），代入y=kx+b，求得一次函数的解析式为：y=-$\frac{2}{mn}$x+$\frac{2（m+n）}{mn}$，得到B（0，$\frac{2（m+n）}{mn}$），C（m+n，0），根据两点间的距离公式求得AB²=m²+（$\frac{2}{m}$-$\frac{2（m+n）}{mn}$）²=m²+$\frac{4}{{n}^{2}}$，CD²=m²+$\frac{4}{{n}^{2}}$，于是得到AB²=CD²，即可得到结论．

解答 解：设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵反比例函数y=$\frac{2}{x}$与一次函数交于点A，D，
∴设A（m，$\frac{2}{m}$），D（n.$\frac{2}{n}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{m}=mk+b}\\{\frac{2}{n}=nk+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{mn}}\\{b=\frac{2（m+n）}{mn}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-$\frac{2}{mn}$x+$\frac{2（m+n）}{mn}$，
∴B（0，$\frac{2（m+n）}{mn}$），C（m+n，0），
∴AB²=m²+（$\frac{2}{m}$-$\frac{2（m+n）}{mn}$）²=m²+$\frac{4}{{n}^{2}}$，
CD²=m²+$\frac{4}{{n}^{2}}$，
∴AB²=CD²，
∴AB=CD．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点之间的距离公式，正确求出交点坐标是解题的关键．