Question

如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．
（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．
（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．
①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；
②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点O作OM∥AB交PC于点M，首先根据四边形ABCD是正方形求出OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM，然后根据角之间的关系求出∠OMQ=∠OQM，即可证明出AP=2QO，
（2）①先作出图形，然后进行分类讨论：i当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，首先证明△EPF≌△CPB得到AP和EF的值，然后根据面积公式求出S和x的函数关系式，ii当PC绕点P顺时针旋转90°时，作EG⊥AB交AB延长线于点G，同理求出S和x的函数关系式，②根据二次函数的性质，把二次函数写成顶点坐标式求出最值．
解答：（1）证明：过点O作OM∥AB交PC于点M，
则∠COM=∠CAB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°，
∴AP=2OM．又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD，
即∠OMQ=∠OQM．
∴OM=OQ∴AP=2OQ．

（2）解：根据题意作出图形，如图所示
①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，
则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°．又∠2+∠CPB=90°，∴∠3=∠2．
又PE由PC绕点P旋转形成∴PE=PC∴△EPF≌△CPB．
∴EF=BP=x，∴AP=1-x，
∴．
∴△APE的面积S与x的函数关系式为（0，x，1）．
ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作E′G⊥AB交AB延长线于点G，
则同理可得△E′PG≌△CPB，E′G=BP=x．
∴△APE的面积S与x的函数关系式为
由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为，（0，x，1）
②由①知S与x的函数关系式为，（0，x，1）
即，（0，x，1）
∴当时S的值最大，最大值为．此时点P所在的位置是边AB的中点处．
点评：本题主要考查二次函数的最值、全等三角形的判定和正方形的知识点，本题把几何知识和函数问题结合起来，本题有点难度，还需要分类讨论，这是同学们容易忽略的．