Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2，AB＝6，∠DAB＝60°，E为边CD上一点．

（1）尺规作图：延长AE，过点C作射线AE的垂线，垂足为F（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）当点E在线段CD上（不与C，D重合）运动时，求EFAE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用尺规作CF⊥AE交AE的延长线于F即可．

（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H．设EC＝x．解直角三角形求出DH，证明△CFE∽△AHE，推出＝，推出EFAE＝CEEH＝x（7﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣）2+，再利用二次函数的性质求解即可．

解：（1）如图，射线CF即为所求．

（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H．设EC＝x．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝6，

∴∠BAD＝∠ADH＝60°，

∵∠H＝90°，

∴∠DAH＝30°，

∴DH＝AD＝1，

∴CH＝CD+DH＝6+1＝7，

∵∠CFE＝∠H＝90°，∠CEF＝∠AEH，

∴△CFE∽△AHE，

∴＝，

∴EFAE＝CEEH＝x（7﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，

∴EFAE的最大值为．