Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）对称轴上是否存在点M使|MC-MB|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，解方程得到b的值，即可得解；
（2）分别求出图象与坐标轴交点，进而得出三角形各边长，进而利用勾股定理逆定理求出即可；
（3）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CA与对称轴交点时，|MC-MB|最大，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx-2过点A（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2
解得：b=-

3

2

∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；
y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x）-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
故顶点D的坐标为：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）当y=0，则0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
故A（-1，0），B（4，0），
当x=0，则y=-2，
故C（0，-2），
可得AO=1，CO=2，BO=4，
故AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
则AC²+BC²=AB²，
故△ABC是直角三角形；

（3）如图所示：由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
则MA=MB，
由三角形的三边关系，|MC-MB|＜AC，
故当M、A、C三点共线时，|MC-MB|最大，为AC的长度，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 b=-2

，
解得：

k=-2 b=-2

，
故直线AC的解析式为y=-2x-2，
∵抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴为直线x=

3

2

，
∴当x=

3

2

时，y=-2×

3

2

-2=-5，
∴点M（

3

2

，-5），
即，抛物线对称轴上存在点M（

3

2

，-5），使|MC-MB|最大．

点评：本题主要考查了二次函数综合题型，利用了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．