Question

【题目】如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、．若，，则的长为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解.

解：如图：∵矩形对边AD//BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌ACOE（ASA），

∴OE=OF，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形，

∵∠DCF=30°，

∴.∠ECF=90°-30°=60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=CF，

∵AB= ，

∴CD=AB=，

∵∠DCF=30°，

∴

∴EF=2，故选A.