Question

已知点A（a，y₁）、B（2a，y₂）、C（3a，y₃）都在抛物线y=5x²+12x上．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有y₁，y₂，y₃，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，得出的关于x的二元一次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标，也就求得出了抛物线与x轴的交点坐标．
（2）当a=1时，根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，由于三角形的面积无法直接求出，因此通过作辅助线用其他规则图形的面积的“和，差”关系来求．如：分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC由此可求出△ABC的面积．
（3）可将A、B、C三点的坐标代入抛物线中，得出y₁，y₂，y₃的值，然后进行比较即可得出它们之间的和差或倍数关系．
解答：解：（1）由5x²+12x=0，
得x₁=0，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．

（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则有S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC
=--=5（个单位面积）

（3）如：y₃=3（y₂-y₁）．
事实上，y₃=5×（3a）²+12×（3a）=45a²+36a．
3（y₂-y₁）=3[5×（2a）²+12×2a-（5a²+12a）]=45a²+36a．
∴y₃=3（y₂-y₁）．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，根据抛物线的解析式来确定A、B、C三点的坐标是解题的关键．