Question

某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹集的资金全部用于生产此两型号挖掘机，所生产的此两型号挖掘机可全部售出，此两型号挖掘机的生产成本和售价如下表：

型号	A	B
成本（万元/台）	200	240
售价（万元/台）	250	300

（1）该厂对这两型号挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产才能获得最大利润？
（3）该机械厂为了技术革新，决定从获得的利润中拿出900万元购进新生产设备，已知有三种不同型号的设备，价格分别为：甲种每台15万元，乙种每台21万元，丙种每台25万元．若该厂同时购进其中两种不同型号的设备共50台，共有几种购买方案？

Answer 1

分析：（1）首先用未知数表示出生产A型号挖掘机的数量，然后根据两种型号的挖掘机总数为100，来表示出B种型号的挖掘机的数量；根据“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”，列出不等式求出未知数的取值范围，由于挖掘机的台数是整数，可据此求得未知数的整数值，从而确定生产方案．
（2）由图表知：生产B种型号挖掘机的单台利润要大于生产A种型号的挖掘机，因此生产的B种型号越多，利润越大，可据此选择（1）的生产方案．
（3）分别用未知数表示出生产三种机械的台数，然后根据购买的两种设备总数为50台，且总价为900万元列不等式组，求出未知数的值，从而确定购买方案．

解答：解：（1）设生产A型挖掘机x台，生产B型挖掘机（100-x）台，
依题意，得22400≤200x+240（100-x）≤22500，
解得：37.5≤x≤40；（2分）
∴x=38、39、40，∴有三种生产方案：
方案一：A型38台，B型62台；
方案二：A型39台，B型61台；
方案三：A型40台，B型60台．（4分）

（2）∵A型每台利润50万元，B型每台利润60万元，
∴选择方案一可获得最大利润，
最大利润为：38×50+62×60=5620万元．（6分）

（3）设：购进甲种设备x台，乙种设备y台，丙种设备z台，
依题意，得

x+y=50 15x+21y=900

或

x+z=50 15x+25z=900

或

y+z=50 21y+25z=900

，（9分）
解得：

x=25 y=25

或

x=35 z=15

或

y= 125 2 z=- 75 2

；（舍去）
因此，共有两种进货方案：
方案一：购进甲设备25台，乙设备25台，
方案二：购进甲设备35台，丙设备15台．（10分）

点评：此题主要考查了一元一次不等式组以及二元一次方程组的应用，理清题意，找准关键描述语是解决问题的关键，难度较大．