Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点C出发，沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P作PM⊥BC，交对角线BD于点M．点Q从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为每秒1个单位．P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为t秒（0＜t＜8）．
（1）当PQ⊥BD时，求出t的值；
（2）连接AM，当PQ∥AM时，求出t的值；
（3）试探究：当t为何值时，△PQM是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）判断出△PBQ∽△DBC得出比例式建立方程即可得出结论；
（2）先判断出△BPM∽△BCD得出比例式求出PM=6-$\frac{3}{4}$t，BM=10-$\frac{5}{4}$t，再判断出△ADM∽△PBQ，得出比例式建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=CD=6，BC=8，
∴∠C=90°，BD=10，
根据题意得，CP=BQ=t，BP=8-t，
∵PQ⊥BD，
∴∠BQP=90°，
∴∠BQP=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC=45°，
∴△PBQ∽△DBC，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{BD}$，
∴$\frac{t}{8}=\frac{8-t}{10}$，
∴t=$\frac{32}{9}$；

（2）∵PM⊥BC，∠C=90°，
∴PM∥CD，
∴△BPM∽△BCD，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{PM}{CD}=\frac{BM}{BD}$，
∴$\frac{8-t}{8}=\frac{PM}{6}=\frac{BM}{10}$，
∴PM=6-$\frac{3}{4}$t，BM=10-$\frac{5}{4}$t，
∴DM=$\frac{5}{4}$t，
∵PQ∥AM，
∴∠AMQ=∠MQP，
∴∠AMD=∠PQB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADM=∠PBQ，
∴△ADM∽△PBQ，
∴$\frac{BQ}{DM}=\frac{BP}{AD}$，
∴$\frac{t}{\frac{5}{4}t}=\frac{8-t}{8}$，
∴t=$\frac{8}{5}$；

（3）

①当点Q在线段BM上时，
Ⅰ、若PM=MQ，
∴6-$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{9}{4}$t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
Ⅱ、若PM=PQ时，如图1，作PN⊥MQ于N，
∴∠PNM=90°，MN=$\frac{1}{2}$MQ=$\frac{1}{2}$（10-$\frac{9}{4}$t）=5-$\frac{9}{8}$t，
∴∠PNM=∠C，
∵PM∥CD，
∴∠PMQ=∠BDC，
∴△PMN∽△BDC，
∴$\frac{PM}{BD}=\frac{MN}{CD}$，
∴$\frac{6-\frac{3}{4}t}{10}=\frac{5-\frac{9}{8}t}{6}$，
∴t=$\frac{56}{27}$，
Ⅲ、若MQ=PQ时，如备用图1，作QE⊥PM于E，
∴QE∥BP，ME=$\frac{1}{2}$PM，
∴△QEM∽△BPM，
∴$\frac{ME}{MP}=\frac{MQ}{MB}=\frac{1}{2}$，
∴MQ=BQ，
∴10-$\frac{9}{4}$t=t，
∴t=$\frac{40}{13}$，

②当点M在线段BQ上时，如备用图2，∠PMQ是钝角，
∴只可能PM=QM，
∴6-$\frac{3}{4}$t=t-（10-$\frac{5}{4}$t），
∴t=$\frac{16}{3}$，
即：满足条件的时间t为$\frac{8}{3}$或$\frac{56}{27}$或$\frac{40}{13}$或$\frac{16}{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是判断出△PBQ∽△DBC，解（2）的关键是表示出PM=6-$\frac{3}{4}$t，BM=10-$\frac{5}{4}$t，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题．