Question

4．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交BC于E，垂足为F，BG平分∠ABD交AE于H，GP∥BD交AE于P，下列结论：
①BF+GP=CD；
②S_△ABF²=S_△BEF•S_△AFD；
③$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{BC}^{2}}$+=$\frac{1}{{AF}^{2}}$；
④$\frac{1}{AD}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{AG}$．
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①首先作GM⊥BD于点M，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABG≌△MBG，即可判断出BM=AB；然后判断出四边形PGMF是矩形，即可推得GP=FM，据此判断出BF+GP=CD即可．
②首先根据AD∥BC，可得$\frac{AF}{EF}=\frac{DF}{BF}$，然后根据三角形的面积和底的正比关系，判断出$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△BEF}}=\frac{AF}{EF}$，$\frac{{S}_{△AFD}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{DF}{BF}$，即可推得S_△ABF²=S_△BEF•S_△AFD．
③首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF∽△DBA，即可判断出$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{AD}$；然后根据AD=BC，可得AB•BC=AF•BD，据此推得$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{BC}^{2}}$=$\frac{1}{{AF}^{2}}$即可．
④首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABG≌△MBG，即可判断出MG=AG；然后判断出AE∥GM，即可推得$\frac{GM}{AF}=\frac{DG}{AD}=\frac{AD-AG}{AD}$=1-$\frac{AG}{AD}$，据此判断出$\frac{1}{AD}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{AG}$即可．

解答 解：如图1，作GM⊥BD于点M，
，
在△ABG和△MBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠MBG}\\{∠BAG=∠BMG=90°}\\{BG=BG}\end{array}\right.$（AAS）
∴△ABG≌△MBG，
∴BM=AB，
∵AE⊥BD，GM⊥BD，
∴AE∥GM，
又∵GP∥BD，
∴四边形PGMF是矩形，
∴GP=FM，
∵BM=BF+FM=BF+GP，BM=AB，AB=CD，
∴BF+GP=CD，
∴结论①正确．
∵AD∥BC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{DF}{BF}$，
∵$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△BEF}}=\frac{AF}{EF}$，$\frac{{S}_{△AFD}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{DF}{BF}$，
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{{S}_{△AFD}}{{S}_{△ABF}}$，
∴S_△ABF²=S_△BEF•S_△AFD，
∴结论②正确．
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠ADB=90°，
∴∠BAF=∠ADB，
在△ABF和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADB}\\{∠AFB=∠DAB=90°}\end{array}\right.$
∴△ABF∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{AD}$，
又∵AD=BC，
∴AB•BC=AF•BD，
∴AB²•BC²=AF²•BD²，
又∵BD²=AB²+AD²=AB²+BC²，
∴AB²•BC²=AF²•（AB²+BC²），
∴$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{BC}^{2}}$=$\frac{1}{{AF}^{2}}$，
∴结论③正确．
如图2，作GM⊥BD于点M，

在△ABG和△MBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠MBG}\\{∠BAG=∠BMG=90°}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△MBG（AAS），
∴MG=AG，
∵AE⊥BD，GM⊥BD，
∴AE∥GM，
∴$\frac{GM}{AF}=\frac{DG}{AD}=\frac{AD-AG}{AD}$=1-$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{AG}{AF}$=1-$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{AG}{AF}+\frac{AG}{AD}$=1，
∴$\frac{1}{AD}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{AG}$，
∴结论④正确．
综上，结论正确的有4个：①②③④．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．