Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，OE⊥AC于点E，ED∥AB交BC于点F，且∠BCD=∠A

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：；

（3）若，BC=6，求CD的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，证明∠OCA+∠BCO=90°，∠OCA=∠BCD，得到OC⊥CD，问题得证；

（2）证明∠CED=∠FCD，证明△CFD∽△ECD，根据相似性质即可证明；

（3）求出AB、AC、CE、CF，根据（2），证明CD∶ED=FD∶CD=3∶4，设，则根据列方程，解方程即可．

解：（1）连接OC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+∠BCO=90°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A，

∵∠BCD=∠A，

∴∠OCA=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCO=90°，

即∠DCO=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵ED∥AB，

∴∠CED=∠A，

∵∠FCD=∠A，

∴∠CED=∠FCD，

∵∠D=∠D，

∴△CFD∽△ECD，

∴ ，

即 ，

（3）Rt△ACB中， ，

∴ ，

∴ ，

∵OE⊥AC，

∴ ，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，

即 ，

∴ ，

由（2）知△CFD∽△ECD ，

∴，

即 ，

设，则，

由得，

，

解得： ，

∴．