Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）求证：DE是⊙O的切线；

（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4.

【解析】

（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；

（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．

（1）证明：连接CD，

∵BC是⊙O的直径，

∴CD⊥AB，又∵AC=BC，

∴AD=BD，

∴点D是AB的中点；

（2）证明：连接OD，

∵BD=DA，BO=OC，

∴DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线；

（3）∵AC=BC，

∴∠B=∠A，

∴cos∠B=cos∠A=，

∵cos∠B==，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cos∠A==，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE==4．