Question

【题目】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，过点（0，1）和（﹣1，0），给出以下结论：①ab＜0；②4a+c＜1+b2；③0＜c+b+a＜2；④0＜b＜2；⑤当x＞﹣1时，y＞0；⑥8a+7b+2c﹣9＜0其中正确结论的个数是（　　）

A.6B.5C.4D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

由开口方向及对称轴位置可判断①；由c＝1且抛物线与x轴有两个交点，即b2﹣4ac＞0可得b2﹣4a＞c﹣1，即可判断②；由抛物线过（﹣1，0）且c＝1得a﹣b+c＝0即b＝a+1＞0，继而可得﹣1＜a＜0即0＜a+1＜1，最后由a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2＝2（a+1）可判断③；由b＝a+1且0＜a+1＜1可判断④；由函数图象知当x＞﹣1时，图象有位于x轴上方也有位于x轴下方的，即可判断⑤；由8a+7b+2c﹣9＝8a+7（a+1）+2﹣9＝15a且a＜0可判断⑥．

解：∵开口向下且对称轴位于y轴右侧，

∴a＜0，b＞0，

∴ab＜0，故①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点且过点（0，1），

∴b2﹣4ac＞0，c＝1，

∴b2﹣4a＞c﹣1，即4a+c＜1+b2，故②正确；

∵抛物线过（﹣1，0），c＝1，

∴a﹣b+c＝0，

∴b＝a+1＞0，

∴﹣1＜a＜0，

∴0＜a+1＜1

又a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2＝2（a+1），且0＜2（a+1）＜2，

∴0＜c+b+a＜2，故③正确；

由③知，0＜b＝a+1＜1，故④错误；

由函数图象知当x＞﹣1时，y＞0或y＜0，故⑤错误；

∵8a+7b+2c﹣9＝8a+7（a+1）+2﹣9＝15a，且a＜0，

∴8a+7b+2c﹣9＜0，故⑥正确；

综上，正确的结论有①②③⑥共4个，

故选：C．