Question

若△ABC三边的长a，b，c均为整数，且

1

a

+

1

b

+

3

ab

=

1

4

，a+b-c=8，设△ABC的面积为S，则S的最大值是______，最小值是______．

Answer 1

∵由

1

a

+

1

b

+

3

ab

=

1

4

可得，
4b+4a+12=ab，
ab-4a-4b=12，
∴（a-4）（b-4）=28，
∴a＞4，b＞4，
∴a-4=1，2，4，7，14，28，
b-4=28，14，7，4，2，1，
∴a=5，6，8，11，18，32，
b=32，18，11，8，6，5，
c=29，16，11，11，16，29，
（1）当a=5，b=32，c=29时，p=

5+32+29

2

=33，S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

33(33-5)(33-32)(33-29)

=4

231

；
（2）当a=6，b=18，c=16时，p=

6+18+16

2

=20，S=

20(20-6)(20-18)(20-16)

=8

35

；
（3）当a=8，b=11，c=11时，p=

8+11+11

2

=15，S=

15(15-8)(15-11)(15-11)

=4

105

；
（4）当a=11，b=8，c=11时，p=

11+8+11

2

=15，S=

15(15-11)(15-8)(15-11)

=4

105

；
（5）当a=18，b=6，c=16时，p=

18+6+16

2

=20，S=

20(20-18)(20-6)(20-16)

=8

35

；
（6）当a=32，b=5，c=29时，p=

32+5+29

2

=33，S=

33(33-32)(33-5)(33-29)

=4

231

．
可见最大值为4

231

，最小值为4

105

．
故答案为4

231

，4

105

．