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(2011•德州)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数(x>0)图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:
①求出点A,B,C的坐标.
②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.
(1)四边形OKPA是正方形.
证明:∵⊙P分别与两坐标轴相切,
∴PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四边形OKPA是矩形.
又∵OA=OK,
∴四边形OKPA是正方形.(2分)
(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为
过点P作PG⊥BC于G.
∵四边形ABCP为菱形,
∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC为等边三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG=
sin∠PBG=,即
解之得:x=±2(负值舍去).
∴PG=,PA=BC=2.(4分)
易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3.
∴A(0,),B(1,0)C(3,0).(6分)
设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.
据题意得:
解之得:a=,b=,c=
∴二次函数关系式为:.(9分)
②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:
解之得:u=,v=
∴直线BP的解析式为:
过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为:
解方程组:
得:
过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:
∴0=

∴直线CM的解析式为:
解方程组:
得:
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)
解法二:∵
∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.
延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,

∴点M的纵坐标为
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.
∴点M(4,)符合要求.
点(7,)的求法同解法一.
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)
解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,

∴点M的纵坐标为

解得:x1=0(舍),x2=4.
∴点M的坐标为(4,).
点(7,)的求法同解法一.
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)解析:
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