Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作△ABC外角∠CAM的平分线AN．
②过C作CE⊥AN，垂足为点E．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

分析：（1）①以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AM于两点，再以这两点为圆心，大于这两点长度的一半长为半径画弧，两弧交于一点N，画射线AN即可；
②以C为圆心，任意长为半径画弧，交AN于两点，再以这两点为圆心，大于这两点长度的一半长为半径画弧，两弧交于一点G，作直线CG，交AN于E；
以点B，C为圆心，大于BC的一半为半径画弧，两弧的交点为M，从点M向BC作垂线，交BC于点N，MN就是所求的垂直平分线；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．首先证明四边形ADCE为矩形，再证明DC=AD，所以证得四边形ADCE为正方形．

解答：解：（1）如图，AN、CE分别为所求；

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵由作图知AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN．
∴∠DAN=∠DAC+∠CAN=

1

2

×180°=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∴矩形ADCE是正方形．

点评：此题主要考查了对正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用，难度适中．