Question

已知点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．
（1）如图1，若AB=AC，AD=AE．
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE又有怎样的数量关系？并说明理由；∠BMC=

90°-

1

2

α

（用α表示）．

Answer 1

分析：（1）①首先根据已知得出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，求出即可；
②利用△ABD≌△ACE，得出∠BDA=∠CEA，则∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD即可得出答案；
（2）首先得出∠BAC=

180°-α

2

，同理可得出：∠DAE=

180°-α

2

，进而得出△ABD∽△ACE，即可得出线段BD与CE的关系以及∠BMC的度数．

解答：解：（1）①BD=CE，
理由：∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，
同理可得出：∠BAC=180°-2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD=180°-2α；

（2）BD=kCE，
理由：∵AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ABC=∠ADE=α，
∴∠BAC=

180°-α

2

，
同理可得出：∠DAE=

180°-α

2

，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
∵ABC=kAC，AD=ED=kAE，
∴

AB

AC

=

AD

AE

=k，
∴△ABD∽△ACE，
∴

BD

CE

=

AD

AE

=k，
∴BD=kCE，
∴∠BMC=∠EAD=90°-

1

2

α．
故答案为：90°-

1

2

α．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出∠BMC=∠MCD+∠CEA是解题关键．