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    观察下列各式
    1
    		2
    +1
    =
    		2
    -1    ，
    1
    		3
    +
    		2
    =
    		3
    -
    		2
    ，
    1
    		4
    +
    		3
    =
    		4
    -
    		3
    …利用上述三个等式及其变化过程，
    计算
    1
    		2
    +1
    +
    1
    		3
    +
    		2
    +
    1
    		4
    +
    		3
    +…+
    1
    		2006
    +
    		2005
    的值．
    分析：首先利用找出的规律把所有加数分母有理化，再合并同类二次根式即可．
    解答：解：
    1
    		2
    +1
    +
    1
    		3
    +
    		2
    +
    1
    		4
    +
    		3
    +…+
    1
    		2006
    +
    		2005

    =
    		2
    -1+
    		3
    -
    		2
    +
    		4
    -
    		3
    +…+
    		2006
    -
    		2005

    =
    		2006
    -1．
    点评：此题考查分母有理化的应用，合并同类二次根式是关键．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各式：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    …
    （1）根据以上式子填空：
    ①
    1
    8×9
    =
     
    ；  ②
    1
    n×(n+1)
    =
     
    （n是正整数）
    （2）根据以上式子及你所发现的规律计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    …+
    1
    2007×2008
    +
    1
    2008×2009

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各式
    1
    		2
    +1
    =
    		2
    -1    ，
    1
    		3
    +
    		2
    =
    		3
    -
    		2
    ，
    1
    		4
    +
    		3
    =
    		4
    -
    		3
    …利用上述三个等式及其变化过程，
    计算
    1
    		2
    +1
    +
    1
    		3
    +
    		2
    +
    1
    		4
    +
    		3
    +…+
    1
    		2009
    +
    		2008
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各式：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，
    1
    4×5
    =
    1
    4
    -
    1
    5
    ，…
    请你把猜想到的规律用含正整数n的式子表示出来，
    （1）猜想与总结
    1
    n(n+1)
    =
     
    （n≥1且为正整数）；
    （2）利用以上规律计算
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +
    1
    4×5
    +    …+
    1
    99×100
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    阅读理解并回答问题．
    （1）观察下列各式：
    1
    2
    =
    1
    1×2
    =
    1
    1
    -
    1
    2
    ，
    1
    6
    =
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    12
    =
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，
    1
    20
    =
    1
    4×5
    =
    1
    4
    -
    1
    5
    ，…
    （2）请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示
    1
    x(x+1)
    =
    1
    x
    -
    1
    x+1
    1
    x
    -
    1
    x+1

    （3）请利用上述规律，解方程
    1
    (x-4)(x-3)
    +
    1
    (x-3)(x-2)
    +
    1
    (x-2)(x-1)
    +
    1
    (x-1)x
    +
    1
    x(x+1)
    =
    1
    x+1
    ．

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